ENSAI - CREST
https://marieetienne.github.io/statspat
2025-01-07
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La température en France
Si \(\widehat{\mu}\) est sans biais alors
Quelle est la conséquence de l’hypothèse de variance minimale ?
Utiliser la méthode du multiplicateur de Lagrange et montrer qu’on cherche à résoudre le système linéaire
\[\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1n} & 1 \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2n} & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \dots & c_{nn} & 1 \\ 1 & 1 & \dots & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \vdots \\ \lambda_n \\ m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\]
Conclusion si \(c_{ij}\) connus, on peut estimer la moyenne
Encore faut il pouvoir estimer la covariance
on a souvent une seule réalisation du processus spatial
Il faut avoir des hypothèses de régularité spatial pour espérer dire des choses à partir d’une réalisation
Propriété Une fonction de covariance est semi définie positive i.e.
\[\forall a\in {\mathbb{R}}^n, \sum_{i,j}^n a_i a_j C(s_i, s_j)\geq 0\] Idée de preuve : Regarder \({\mathbb{V}\text{ar}}(\sum_{i=1}^n a_i Z(s_i))\)
Un processus de second ordre \(Z\) est stationnaire sur \(D\subset {\mathbb{R}}^d\) si
Un processus est isotrope si \(C(h)\) dépend uniquement de \(\|h\|\) i.e \[C(h) = C(\|h\|)\]
\(Z\) est un processus à accroissements stationnaires si les accroissements de \(Z\) sont stationnaires au second ordre, i.e. \[{\mathbb{E}}(Z(s + h) − Z(s)) = 0\] \[{\mathbb{V}\text{ar}}(Z(s + h) − Z(s)) = 2\gamma(h)\] La stationnarité du second ordre implique la stationnarité des accroissements.
La classe des processus à accroissement stations est donc plus ….. que la classe des processus de second ordre. ### Exemple
Que dire du mouvement Brownien sur \({\mathbb{R}}\)
Le semi-variogramme d’un processus à accroissements stattionnaire est défini comme : \[\gamma(h) = \frac{1}{2} {\mathbb{V}\text{ar}}(Z(s+h) - Z(s))\]
Pépitique : \(\gamma(h) = C\)
Exponentiel : \(\gamma(h) = C(1 - \exp(-\|h\|/\rho))\).
Sphérique : \[\gamma(h) = \begin{cases} C \left( \frac{3}{2} \frac{\|h\|}{\rho} - \frac{1}{2} \left(\frac{\|h\|}{\rho}\right)^3 \right) & \text{si } \|h\| \leq \rho \\ C & \text{si } \|h\| > \rho \end{cases}\]
Gaussien : \(\gamma(h) = C(1 - \exp(-\|h\|^2/\rho))\).
Puissance : \(\gamma(h) = C\left | h\right|^\alpha, \alpha < 2\)
Classe de Matèrn
\[ \gamma(h) = C\left [ 1 - \frac{1}{2^{\nu -1}\Gamma(\nu)}\left(\frac{\sqrt{2\nu }h}{\rho}\right)K_{\nu}\left(\frac{\sqrt{2\nu }h}{\rho}\right)\right]\] \(K_{\nu}\) fonction de Bessel modifiée de 3ème espèce, d’ordre \(\nu\)
\(\nu\) paramètre qui règle la régularité en 0.